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拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)篇一
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1. 拋物線定義：
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值(離心率e)不同，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線，當(dāng)0
2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)(如下表)：
其中為拋物線上任一點(diǎn)。
3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。
4. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，，，，，，。
說(shuō)明：
1. 求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法;若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法。
2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。
3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。
【解題方法指導(dǎo)】
例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求此拋物線的方程。
解析：設(shè)所求拋物線的方程為或
設(shè)交點(diǎn)(y10)
則，∴，代入得
∴點(diǎn)在上，在上
∴或，∴
故所求拋物線方程為或。
例2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∥軸，證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)
故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為
由，消去得
設(shè)，則
∵∥軸，且在準(zhǔn)線上
∴點(diǎn)坐標(biāo)為
于是直線的方程為
要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只需證明，即證
注意到知上式成立，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
證法二：同上得。又∵∥軸，且在準(zhǔn)線上，∴點(diǎn)坐標(biāo)為。于是，知三點(diǎn)共線，從而直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
證法三：如圖，
設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)作，是垂足
則∥∥，連結(jié)交于點(diǎn)，則
又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，
∴因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，即與原點(diǎn)重合，∴直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
評(píng)述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法，充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙。
【考點(diǎn)突破】
【考點(diǎn)指要】
拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是5分。
考查通常分為四個(gè)層次：
層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用;
層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;
層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用;
層次四：考查拋物線與平面向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題。
解決問(wèn)題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。
【典型例題分析】
例3. (2006江西)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
a. b.
c. d.
答案：b
解析：解法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則
，
解得或(舍)，代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。
解法二：由題意設(shè)，則，
即，，求得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為。
評(píng)述：本題考查了拋物線的動(dòng)點(diǎn)與向量運(yùn)算問(wèn)題。
例4. (2006安徽)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為( )
a. -2 b. 2 c. -4 d. 4
答案：d
解析：橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則。
評(píng)述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系。
【達(dá)標(biāo)測(cè)試】
一. 選擇題：
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是( )
a. b. c. d.
2. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸上，又拋物線上的點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離為4，則等于( )
a. 4 b. 4或-4 c. -2 d. -2或2
3. 焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
a. b. 或
c. d. 或
4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程為( )
a. b.
c. d.
5. 正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1，則點(diǎn)的軌跡是( )
a. 拋物線 b. 雙曲線 c. 直線 d. 以上都不對(duì)
6. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是()
a. 5 b. 4 c. d.
7. 已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是( )
a. b. 4 c. d. 5
8. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是( )
a. 12 b. -12 c. 3 d. -3
二. 填空題：
9. 已知圓和拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值是_____。
10. 已知分別是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)____。
11. 過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則___。
12. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____。
三. 解答題：
13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5，求拋物線的方程。
14. 過(guò)點(diǎn)(4，1)作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。
15. 設(shè)點(diǎn)f(1，0)，m點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且。
⑴當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程;
⑵設(shè)是曲線上的三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于e(3，0)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。
【綜合測(cè)試】
一. 選擇題：
1. (2005上海)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線( )
a. 有且僅有一條 b. 有且僅有兩條
c. 有無(wú)窮多條 d. 不存在
2. (2005江蘇)拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
a. b. c. d. 0
3. (2005遼寧)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為，若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是( )
a. b. c. d. 21
4. (2005全國(guó)ⅰ)已知雙曲線的`一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為( )
a. b. c. d.
5. (2004全國(guó))設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是( )
a. b. c. d.
6. (2006山東)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值，則的最小值為( )
a. b. c. d.
7. (2004北京)在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內(nèi)放一個(gè)小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積的取值范圍是( )
a. b. c. d.
8. (2005北京)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線與該拋物線相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為( )
a. 8 b. 7 c. 10 d. 12
二. 填空題：
9. (2004全國(guó)ⅳ)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值是_____。
10. (2005北京)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_____，圓的面積是_____。
11. (2005遼寧)已知拋物線的一條弦，，所在直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，則_____。
12. (2004黃岡)已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量進(jìn)行平移，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長(zhǎng)_____。
三. 解答題：
13. (2004山東)已知拋物線c：的焦點(diǎn)為，直線過(guò)定點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)。
⑴若以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求的值;
⑵在⑴的條件下，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
14. (2005四川)
如圖，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為8。
⑴求拋物線方程;
⑵若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，若存在，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
15. (2005河南)已知拋物線，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)。若總存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。
⑴求;
⑵求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。
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