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高一數學函數知識點框架圖篇一

1、函數：設a、b為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數，寫作y=f(x)，x∈a，其中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合b={f(x)∣x∈a }叫做函數的值域。

2、函數定義域的解題思路：

⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數不小于0。

⑶對數式的真數必須大于0。

⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。

⑸指數為0時，底數不得為0。

⑹如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

3、相同函數

⑴表達式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。

⑵定義域一致，對應法則一致。

4、函數值域的求法

⑴觀察法：適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。

⑵圖像法：適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。

⑶配方法：主要用于二次函數，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。

5、函數圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上系數。

⑶對稱變換：高中階段不作要求。

6、映射：設a、b是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于a中的任意儀的元素x，在集合b中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：a→b為從集合a到集合b的映射。

⑴集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合a中的不同元素，在集合b中對應的象可以是同一個。

⑶不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。

7、分段函數

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

⑵各部分自變量和函數值的取值范圍不同。

⑶分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

8、復合函數：如果(u∈m)，u=g(x) (x∈a),則，y=f[g(x)]=f(x) (x∈a)，稱為f、g的復合函數。

1、函數的局部性質——單調性

設函數y=f(x)的定義域為i，如果對應定義域i內的某個區(qū)間d內的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間d上是減函數，d是函數y=f(x)的單調遞減區(qū)間。

⑴函數區(qū)間單調性的判斷思路

ⅰ在給出區(qū)間內任取x1、x2，則x1、x2∈d，且x1< x2。

ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问健?/p>

ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。

⑵復合函數的單調性

復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律為“同增異減”;多個函數的復合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。

⑶注意事項

函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數在區(qū)間a和b上都遞增，則表示為f(x)的單調遞增區(qū)間為a和b，不能表示為a∪b。

2、函數的整體性質——奇偶性

對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數;

對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數。

⑴奇函數和偶函數的性質

ⅰ無論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關于原點對稱。

ⅱ奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。

⑵函數奇偶性判斷思路

ⅰ先確定函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數。

ⅱ確定f(x)和f(-x)的關系：

若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數為偶函數;

若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數為奇函數。

3、函數的最值問題

⑴對于二次函數，利用配方法，將函數化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。

⑵對于易于畫出函數圖像的函數，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

⑶關于二次函數在閉區(qū)間的最值問題

ⅰ判斷二次函數的頂點是否在所求區(qū)間內，若在區(qū)間內，則接ⅱ，若不在區(qū)間內，則接ⅲ。

ⅱ若二次函數的頂點在所求區(qū)間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值;后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。

ⅲ若二次函數的頂點不在所求區(qū)間內，則判斷函數在該區(qū)間的單調性

若函數在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);

若函數在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

高中

高一數學函數知識點框架圖篇二

i、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，iai還可以決定開口大小，iai越大開口就越小，iai越小開口就越大、)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

ii、二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點p(h，k)]

交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點a(x?，0)和b(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii、二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

iv、拋物線的性質

1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點p。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2、拋物線有一個頂點p，坐標為

p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當-b/2a=0時，p在y軸上;當δ=b^2-4ac=0時，p在x軸上。

3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5、常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6、拋物線與x軸交點個數

δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

高一數學函數知識點框架圖篇三

(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;

(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);

(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性;

(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像c1與c2的對稱性，即證明c1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c2上，反之亦然;

(3)曲線c1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線c2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線c1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線c2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數y=f(x)對x∈r時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;

(1)y=f(x)對x∈r時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;

(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;

(6)y=f(x)對x∈r時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;

a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈r+);

(2) l og a n= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;

(4) a log a n= n ( a>0,a≠1,n>0 );

(1)a中元素必須都有象且唯一;

(2)b中元素不一定都有原象，并且a中不同元素在b中可以有相同的象;

7. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

8.對于反函數，應掌握以下一些結論：

(1)定義域上的單調函數必有反函數;

(2)奇函數的反函數也是奇函數;

(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

(4)周期函數不存在反函數;

(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

(6) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為a，值域為b，則有f[f--1(x)]=x(x∈b),f--1[f(x)]=x(x∈a);

9.處理二次函數的問題勿忘數形結合

二次函數在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系;

10 依據單調性

利用一次函數在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;

11 恒成立問題的處理方法：

(1)分離參數法;

(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

練習題：

1． （－3,4）關于x軸對稱的點的坐標為_________,關于y軸對稱的點的坐標為__________,

關于原點對稱的坐標為__________.

2． 點b（－5,－2）到x軸的距離是____,到y(tǒng)軸的距離是____,到原點的距離是____

3． 以點（3,0）為圓心,半徑為5的圓與x軸交點坐標為_________________,

與y軸交點坐標為________________

4． 點p（a－3,5－a）在第一象限內,則a的取值范圍是____________

5． 小華用500元去購買單價為3元的一種商品,剩余的錢y（元）與購買這種商品的件數x（件）

之間的函數關系是______________,x的取值范圍是__________

6． 函數y= 的自變量x的取值范圍是________

7． 當a=____時,函數y=x 是正比例函數

8． 函數y=－2x＋4的圖象經過___________象限,它與兩坐標軸圍成的三角形面積為_________,

周長為_______

9． 一次函數y=kx＋b的圖象經過點（1,5）,交y軸于3,則k=____,b=____

10．若點（m,m＋3）在函數y=－ x＋2的圖象上,則m=____

11． y與3x成正比例,當x=8時,y=－12,則y與x的函數解析式為___________

12．函數y=－ x的圖象是一條過原點及（2,___ ）的直線,這條直線經過第_____象限,

當x增大時,y隨之________

13.函數y=2x－4,當x_______,y0,b0,b>0; c、k

高一數學函數知識點框架圖篇四

1、映射

(1)映射：設a、b是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合a中的任一個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合a、b以及a到b的對應法則f)叫做集合a到集合b的映射，記作f：a→b。

注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

2、函數

構成函數概念的三要素

①定義域②對應法則③值域

兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同

1、求函數定義域的主要依據：

(1)分式的分母不為零;

(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義;

(3)對數函數的真數必須大于零;

(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

1求函數值域的方法

①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數;

②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;

③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈r的分式;

④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;

⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域;

⑦利用對號函數

⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

1.定義:設y=f(x)，x∈a，如果對于任意∈a，都有，則稱y=f(x)為偶函數。

如果對于任意∈a，都有，則稱y=f(x)為奇

函數。

2.性質：

①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,

②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域d1，d2，d1∩d2要關于原點對稱]

3.奇偶性的判斷

①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系

1、函數單調性的定義：

2設是定義在m上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在m上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在m上是增函數。

高一數學函數知識點框架圖篇五

本節(jié)知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。

1、函數單調性的定義

2、函數單調性的判斷和證明：(1)定義法 (2)復合函數分析法 (3)導數證明法 (4)圖象法

1、函數的奇偶性和周期性的定義

2、函數的奇偶性的判定和證明方法

3、函數的周期性的判定方法

1、函數圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯(lián)合考查，多屬于拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

1、求函數的單調區(qū)間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優(yōu)先的原則”。

2、單調區(qū)間必須用區(qū)間來表示，不能用集合或不等式，單調區(qū)間一般寫成開區(qū)間，不必考慮端點問題。

3、在多個單調區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

高一數學函數知識點框架圖篇六

高一數學函數知識點歸納

1、函數：設a、b為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數，寫作y=f(x)，x∈a，其中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合b={f(x)∣x∈a }叫做函數的值域。

2、函數定義域的解題思路：

⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數不小于0。

⑶對數式的真數必須大于0。

⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。

⑸指數為0時，底數不得為0。

⑹如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

3、相同函數

⑴表達式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。

⑵定義域一致，對應法則一致。

4、函數值域的求法

⑴觀察法：適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。

⑵圖像法：適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。

⑶配方法：主要用于二次函數，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。

5、函數圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上系數。

⑶對稱變換：高中階段不作要求。

6、映射：設a、b是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于a中的任意儀的元素x，在集合b中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：a→b為從集合a到集合b的映射。

⑴集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合a中的不同元素，在集合b中對應的象可以是同一個。

⑶不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。

7、分段函數

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

⑵各部分自變量和函數值的取值范圍不同。

⑶分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

8、復合函數：如果(u∈m)，u=g(x) (x∈a),則，y=f[g(x)]=f(x) (x∈a)，稱為f、g的復合函數。

空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

(1)共面：平行、相交

(2)異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)

esp.空間向量法

兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)

esp.空間向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面

直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內——有無數個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。

空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：

a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，

b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]

最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理:如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面

高一數學函數知識點框架圖篇七

一般地，設函數f(x)的定義域為i：

如果對于屬于i內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2).那么就說f(x)在 這個區(qū)間上是增函數。

如果對于屬于i內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數。

單調區(qū)間是指函數在某一區(qū)間內的函數值y，隨自變量x增大而增大（或減?。┖愠闪ⅰＨ绻瘮祔=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數。那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做y= f(x)的單調區(qū)間。

一、指數函數的定義

指數函數的一般形式為y=a^x(a0且≠1) (x∈r).

二、指數函數的性質

1.曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數的定義域為（-∞，+∞）

2.曲線在x軸上方，而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠近x軸（x軸是曲線的漸近線）〈=〉函數的值域為（0，+∞）

一、對數與對數函數定義

1.對數：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于n，那么數b叫做以a為底n的對數，記作log an=b,讀作以a為底n的對數，其中a叫做對數的底數，n叫做真數。

2.對數函數：一般地，函數y=log(a)x，（其中a是常數，a0且a不等于1）叫做對數函數，它實際上就是指數函數的反函數，因此指數函數里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數函數。

二、方法點撥

在解決函數的綜合性問題時，要根據題目的具體情況把問題分解為若干小問題一次解決，然后再整合解決的結果，這也是分類與整合思想的一個重要方面。

一、冪函數定義

形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量 冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

二、性質

冪函數不經過第三象限,如果該函數的指數的分子n是偶數,而分母m是任意整數,則y0,圖像在第一;二象限.這時(-1)^p的指數p的奇偶性無關.

如果函數的指數的分母m是偶數,而分子n是任意整數,則x0(或xy0(或y=0),圖像在第一象限.與p的奇偶性關系不大,

高一數學函數知識點框架圖篇八

【(一)、映射、函數、反函數】

1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.

2、對于函數的概念，應注意如下幾點：

(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.

3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：

(1)確定原函數的.值域，也就是反函數的定義域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.

注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.

②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.

【(二)、函數的解析式與定義域】

1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：

(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得為零;

②偶次方根的被開方數不小于零;

③對數函數的真數必須大于零;

④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈r，且k∈z)，余切函數y=cotx(x∈r，x≠kπ，k∈z)等.

應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

2、求函數的解析式一般有四種情況

(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.

(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

【(三)、函數的值域與最值】

1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.

(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

2、求函數的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

3、函數的最值在實際問題中的應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

【(四)、函數的奇偶性】

1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

注意如下結論的運用：

(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

(2)f(x)、g(x)分別是定義域d1、d2上的奇函數，那么在d1∩d2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

3、有關奇偶性的幾個性質及結論

(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.

(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區(qū)間上的單調性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，g(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

(6)奇偶性的推廣

函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。

【(五)、函數的單調性】

1、單調函數

對于函數f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統(tǒng)稱為單調函數.

對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：

(1)單調性是與“區(qū)間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區(qū)間上可以有不同的單調性.

(2)單調性是函數在某一區(qū)間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)單調區(qū)間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.

(4)注意定義的兩種等價形式：

設x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函數;

在[a、b]上是減函數.

②在[a、b]上是增函數.

在[a、b]上是減函數.

需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

5、復合函數y=f[g(x)]的單調性

若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.

在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.

6、證明函數的單調性的方法

(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈m且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.

(2)設函數y=f(x)在某區(qū)間內可導.

如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.

【(六)、函數的圖象】

函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數形結合的思想方法解決問題的意識.

求作圖象的函數表達式

與f(x)的關系

由f(x)的圖象需經過的變換

y=f(x)±b(b>0)

沿y軸向平移b個單位

y=f(x±a)(a>0)

沿x軸向平移a個單位

y=-f(x)

作關于x軸的對稱圖形

y=f(|x|)

右不動、左右關于y軸對稱

y=|f(x)|

上不動、下沿x軸翻折

y=f-1(x)

作關于直線y=x的對稱圖形

y=f(ax)(a>0)

橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

y=af(x)

縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

y=f(-x)

作關于y軸對稱的圖形

【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈r，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求證：f(0)=1;

②求證：y=f(x)是偶函數;

③若存在常數c，使求證對任意x∈r，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之為抽象函數，解決這類問題一般采用賦值法.

解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數.

③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個周期.