二次函數(shù)與圓的綜合題型
例題、如圖，二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像交x軸于A（-1，0），B（2，0），交y軸于C（0，-2），過A，C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；
（3）點M在二次函數(shù)圖 像上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．
①若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應(yīng)），求點M的坐標(biāo)；
②若⊙M的半徑為4/5√5（5分之4又根號5） ，求點M的坐標(biāo)．
【解析、分析】
（1）根據(jù)與x軸的兩個交點A、B的坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)交點式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣2），然后把點C的坐標(biāo)代入計算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分：
（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標(biāo)與點C的縱坐標(biāo)相同，是﹣2，代入拋物線解析式計算即可；
（ii）點H在點C上方時，根據(jù)（2）的結(jié)論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標(biāo)；
②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標(biāo)，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標(biāo)．
【參考答案】
【考點】兩一次函數(shù)圖像相交或平行問題，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
定角必有隱圓例題
例、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y=x+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時的k值；若不存在，請說明理由．
【解析】【分析】
方法一：（1）當(dāng)k=1時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標(biāo)；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點P的坐標(biāo)；
（3）“存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可知，此時∠OQC=90°且點Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點，此時亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°．
方法二：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出點A，B坐標(biāo)．（2）利用面積公式求出P點坐標(biāo)．（3）列出定點O坐標(biāo)，用參數(shù)表示C，Q點坐標(biāo)，利用黃金法則二求出k的值．
【答案】
【考點】勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用-動態(tài)幾何問題。